第四章 微商与微分
微商的概念来自于一个连续两岁零一个连续量变化的瞬时变化率。变化率是顺势的，需要用极限定义。求微商法则中最重要的是复合函数求微商公式。
微分的概念来自于研究函数在一点附近的变化。他的准确定义是函数改变量的线性主要部分。微分运算归结为微商的运算。
§1 微商概念及其计算
1. 微商概念
微商是数学分析最重要的概念之一。直观上说，微商概念来自一个连续变量随另一个连续变量变化的“瞬时”变化率，即函数的变化率。这是质点作变速直线运动的瞬时速度的抽象。
定义 4.1 设函数$y=f(x)$在$x_0$点附近有定义，对于自变量在$x_0$点的任意改变量$\Delta x=x-x_0$，函数在该点的相应改变量为$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。
若极限$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\to0}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}$存在，则称函数$f(x)$在$x_0$点可导，并称极限值为$f(x)$在$x_0$点的微商或导数，记为： $$ f'(x_0)\quad或\quad y'|{x=x_0}\quad或\quad \frac{dy}{dx}|{x=x_0}\notag $$ 若令$x=x_0+\Delta x$，则也有： $$ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\notag $$ 微商是一个局部性概念，描写某一点附近函数相对于自变量的变化率，数值上大小反映函数变化的快慢，符号反应函数变化的增大或减小的趋势。
微商的几何意义：函数$y=f(x)$在直角坐标系中是一条曲线，设$y_0=f(x_0)$，$P(x_0,y_0)$是曲线上的一点。对应于自变量的改变量$\Delta x$函数有改变量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，这样$Q(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$就是曲线上$P$附近的一点，比值$\frac{\Delta y}{\Delta x}$就表示了曲线的割线$PQ$的斜率，即$PQ$与$x$轴正方向之间的夹角的正切： $$ \tan\varphi=\frac{RQ}{PR}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\notag $$
当$|\Delta x|$越来越小，$Q$就沿着曲线越来越接近于点$P$，而割线$PQ$也就越来越接近一条平行于$x$轴的直线。$\Delta x\to 0$时，$PQ$的极限位置就是曲线在$P$的切线，$\varphi$也就趋向于切线与$x$轴正方向的夹角$\theta$，割线的斜率也就趋向于切线的斜率，即$f'(x_0)=tan\theta$。$f'(x_0)>0$表示切线与$x$轴正方向的夹角为锐角；$f'(x_0)<0$表示切线与$x$轴正方向的夹角为钝角；$f'(x_0)=0$表示切线平行于$x$轴。
由此，曲线在$P$处的切线方程为： $$ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\notag $$ 法线方程为： $$ y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\notag $$ 若$y=f(x)$在一个区间$(a,b)$内每一点都可导，即对区间的每一个$x_0$，有$f'(x_0)$与之对应，则微商也就构成了一个函数$y'=f'(x)$，$f'(x)$就是这个函数在$x_0$点的值。此时我们称函数$f(x)$在$(a,b)$可导，$f'(x)$称为它的导函数，有时也叫微商。
2. 可导与连续的关系
定理 4.1 若$f(x)$在$x_0$点可导，则$f(x)$在$x_0$点连续。
若$f(x)$在区间$(a,b)$可导，而$f(x)$在$a$有左导数$f'+(a)$，在$b$有右函数$f'-(b)$，则称$f(x)$在闭区间$[a,b]$可导。
3. 微商的计算
下面是基本初等函数的微商公式：
1. 常值函数 $y=c$
由于$\Delta y=c-c$恒为$0$，故在任意一点存在$(c)'=0$： $$ y'=lim_{\Delta x\to0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\to0}{\frac{c-c}{\Delta x}}=0\notag $$
2. 幂函数 $y=x^n, n\in\N^+$
对任意$x$，给$x$以改变量$\Delta x$，对应的函数有改变量： $$ \begin{split} \Delta y&=(x+\Delta x)^n-x^n \&=nx^{n-1}\Delta x+\frac{n(n-1)}{2!}(\Delta x)^2+\dots+(\Delta x)^n \end{split} $$ 所以$(x^n)'=nx^{n-1}$： $$ \lim_{x\to0}{\frac{(x+\Delta x)^n-\Delta x^n}{\Delta x}}=nx^{n-1}\notag\ (x^n)'=nx^{n-1} $$
3. 正弦函数与余弦函数 $y=\sin x$、$y=\cos x$
前例已证$(\sin x)'=\cos x$，同理$(cos x)'=-\sin x$。
4. 对数函数$y=\log_ax\quad(a>0,a\neq1)$
$$ \begin{split} y'&=\lim_{\Delta x\to0}{\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_ax}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\to0}{\frac{\log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}}}\cdot\frac{1}{x} \&=\frac{1}{x}\lim_{\Delta x\to0}\log_a(1+\frac{\Delta x}{x})^\frac{x}{\Delta x}=\frac{1}{x}log_ae=\frac{1}{x\ln a} \end{split} $$
又因为$log_ax$连续性与$\displaystyle\lim_{x\to0}{(1+x)^\frac{1}{x}}=e$，结果得到： $$ (log_ax)'=\frac{1}{xlna} \(lnx)'=\frac{1}{x} \notag $$ 定理 4.2 若函数$u(x)$和$v(x)$在$x_0$点可导，则：
- $(u(x)\pm v(x))'|_{x=x_0}=u'(x_0)\pm v'(x_0)$；
- $(u(x)v(x))'|_{x=x_0}=u'(x_0)v(x_0)+u(x_0)v'(x_0)$；
- $(\frac{u(x)}{v(x)})'|_{x=x_0}=\frac{u'(x_0)v(x_0)-u(x_0)v'(x_0)}{v^2(x_0)}\quad(v(x_0)\neq0)$。
定理 4 .3 若函数$y=f(x)$在$x_0$附近连续且严格单调，又$f'(x_0)\neq0$，则其反函数$x=\varphi(y)$在点$y_0=f(x_0)$可导，且： $$ \varphi'(y0)=\frac{1}{f'(x_0)}\notag $$
5. 指数函数 $y=a^x\quad(a>0,a\neq1)$
指数函数时对数函数的反函数，而$x=log_ay$在定义域内连续严格单调且$x'=\frac{1}{y\ln a}\neq0$，因此： $$ y'=\frac{1}{x'(y)}=y\ln a=a^x\ln a\notag $$
6. 反三角函数
- 若$y=\arcsin x$，则$y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad(-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2},-1<x<1)$；
- 若$y=\arccos x$，则$y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad(0<y<\pi,-1<x<1)$；
- 若$y=\arctan x$，则$y'=\frac{1}{1+x^2}\quad(-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2},-\infty<x<+\infty)$；
- 若$y=\arcsin x$，则$y'=-\frac{1}{1+x^2}\quad(0<y<\pi,-\infty<x<+\infty)$。
定理 4.4 若函数$u=g(x)$在$x_0$点可导，$y=f(u)$在$u_0=g(x_0)$点可导，$y=f(u)$在$u_0=g(x_0)$点可导，则复合函数$f\circ g(x)$在$x_0$可导，且： $$ (f\circ g)'(x_0)=f'(u_0)g'(x_0)=f'(g(x_0))g'(x_0)\notag $$ 或： $$ \frac{dy}{dx}|{x=x_0}=\frac{dy}{du}|{x=x_0}\cdot\frac{du}{dx}|_{x=x_0}\notag $$ 若$y=f(u)$的定义域包含$u=g(x)$的值域，且两个函数在各自的定义域上可导，则复合函数$f\cdot g(x)$在定义域上可导，导函数为： $$ (f\circ g)'(x)=f'(u)g'(x)=f'(g(x))g'(x)\notag $$ 或： $$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\notag $$ 也可写作$y_x'=y_u'\cdot u_x'$，我们称这组公式为链式法则，可以推广到多个函数的复合情形，如： $$ (f\circ g\circ h)'(x)=f'(u)g'(v)h'(x)=f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x) \y'x=y_u'u_v'v_x'\notag $$ 函数可以在一点连续但不可导。
